Telah dijelaskan,
bahwa ada fungsi yang benar-benar ada (existing) dan ada fungsi yang
benar-benar tidak ada. Jika fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang
benar-benar ada dan dapat didiferensialkan dengan baik (differensiable), maka
urutan pendiferensialan (diferensiasi) tidak menjadi masalah. Artinya,
(∂ 2 x /
∂y ∂z) z, y = (∂ 2 x / ∂z ∂y) y, z atau
(∂M / ∂z)y
= (∂N / ∂y)z .
……………………………. (1.4)
Persamaan I.4 dikenal
sebagai syarat Euler.
Jadi, syarat Euler merupakan syarat yang
diperlukan untuk membuktikan bahwa fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang
benar-benar ada. Dapat pula dinyatakan, diferensial total suatu fungsi yang
benar-benar ada (yang memenuhi syarat Euler) adalah diferensial eksak.
Jika fungsi x = x (y,
z), maka dx = (∂x / ∂y)z dy + (∂x / ∂z)y dz. Fungsi ini
dapat dilihat sebagai fungsi y = y (x, z) dengan dy = (∂y / ∂x)z dx
+ (∂y / ∂z)x dz. Jika dy disubstitusikan ke dx di atas diperoleh:
dx = (∂x / ∂y)z {(∂y / ∂x)z
dx + (∂y / ∂z)x dz} + (∂x / ∂z)y dz atau
dx = {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂x)z
} dx + {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂z)x + (∂x / ∂z)y }
dz yang
berlaku untuk setiap dx dan dz. Hal ini
terpenuhi jika :
1. {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂x)z
} = 1 atau (∂x / ∂y)z = {1 /
(∂y / ∂x)z } …………………..(1.5)
2. {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂z)x
+ (∂x / ∂z)y } = 0 atau
{(∂x
/ ∂y)z (∂y / ∂z)x
(∂z / ∂x)y} = -1
……………………………………………(1.6)
Persamaan I.6 dikenal sebagai dalil rantai
atau aturan rantai atau “chine rule”.
Dalam Termodinamika konsep diferensial total,
diferensial parsial, diferensial eksak, dan diferensial tak eksak sangat
diperlukan. Pemaknaan dari keempat bentuk diferensial ini sangat bergantung
pada keaadaan sistem, koordinat sistem, atau variabel sistem termodinamis. Oleh
karena itu, Mahasiswa harus faham benar mengenai pengertian-pengertian dan
pemaknaan diferensial dalam Termodinamika.
Sebagai teladan,
perhatikan keadaan gas yang ada dalam bejana yang dilengkapi dengan pengisap
(piston) seperti gambar I.1. berikut.
GAS
Gambar
1.1 : Gas dalam Bejana yang Dilengkapi dengan Piston
Gambar I.1 melukiskan
keadaan gas yang ada dalam bejana dengan volume V, tekanan p,
temperatur T, dan jumlah partikel N . Jika bejana tidak bocor,
maka jumlah partikel gas (N) harganya selalu tetap. Besaran p, V,
dan T saling berhubungan. Eksperimen menunjukkan, jika dua besaran
menjadi variabel bebas, maka satu besaran lainnya menjadi variabel terikat.
Hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk implisit berikut.
f
(p, V, T) = 0 ……………………………………. (1.7)
Bentuk eksplisitnya ada tiga, yaitu:
(a). p = p (V, T). (b). V = V (p, T). (c). T = T (p, V).
…………………….. (1.8)
Bentuk diferensialnya ada tiga, yaitu
persamaan 1.9. (a), (b), dan (c) berikut.
(a). dp = (∂p / ∂V)T
dV + (∂p / ∂T)V dT
(b). dV = (∂V / ∂p)T
dp + (∂V / ∂T)p dT
(c). dT = (∂T / ∂p)V
dp + (∂T / ∂V)p dV
Makna fisis dari persamaan 1.9. (a) dapat
dijelaskan sebagai berikut.
(1).dp =
perubahan total dari tekanan gas dalam bejana = perubahan parsial tekanan gas
karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis + perubahan parsial
tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris.
(2).dV = perubahan volume gas dan dT =
perubahan temperatur gas.
(3).(∂p / ∂V)T
= perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses
isotermis.
(4).(∂p / ∂T)V
= perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses
isokhoris.
Makna fisis dari
persamaan 1.9. (b) dan (c) dapat dijelaskan dengan cara yang sama. Indeks pada
diferensial parsial menunjukkan prosesnya. Misalkan ada indeks p, maka
perubahan parsial terjadi pada proses isobaris (proses tekanan tetap
